Mundo, 20 de ago 2024 (ATB Digital).- Mirar las estrellas podría ser un buen ejemplo de como el infinito cobra vida como un concepto de algo interminable y vasto. En la imagen, galaxia NGC 4242 captada por el telescopio Hubble.
Es muy probable que el término “infinito” te produzca una mezcla entre temor y asombro. Mirar las estrellas, sobre todo, podría ser un buen ejemplo de como ese concepto de algo interminable y vasto cobra vida, cautivando nuestras mentes y encontrando su lugar tanto en la filosofía como en las matemáticas. Pero, ¿qué es realmente el infinito? Para algunos, es simplemente lo que no tiene fin, lo inalcanzable; para otros, es una puerta a nuevas ideas, algo así como un lugar donde la imaginación se encuentra con lo desconocido.
En el siglo XIX, un matemático alemán llamado Georg Cantor se adentró en ese terreno ambiguo del infinito, con una pregunta simple pero profunda: ¿Existen diferentes tamaños de infinito? Lo que Cantor descubrió desafió todo lo que se sabía hasta entonces, llevando a toda la comunidad matemática a entender que no solo existe un infinito, sino que hay muchos, cada uno más grande que el anterior.
AL INFINITO Y MÁS ALLÁ
Intentemos explicarlo de forma sencilla. Imagina que quieres contar los objetos que tienes frente a ti. Normalmente, emparejarías un objeto con un número: uno, dos, tres… Así, sabrías cuántos objetos hay. Pero, ¿qué pasa cuando los números nunca terminan? Ese conjunto de números, que llamamos naturales (1, 2, 3…), es infinito. Pero Cantor descubrió que no todos los infinitos son iguales, y para ello utilizó una herramienta matemática muy poderosa: la biyección.
La biyección es como un juego de emparejar. Si puedes emparejar cada elemento de un conjunto con un elemento de otro, y no sobra ninguno, entonces ambos conjuntos tienen el mismo tamaño. Aplicando esto a conjuntos infinitos, Cantor encontró que el conjunto de los números naturales es numerable; es decir, podemos contarlos uno a uno, aunque nunca terminemos. Pero aquí es donde la intuición falla: Cantor demostró que también podemos emparejar los números naturales con los números racionales (que incluyen fracciones como 1/2, 2/3, etc.), aunque parezca que hay muchos más racionales que naturales.
¿Cómo lo hizo? Imaginemos una tabla infinita donde colocamos todas las fracciones posibles. Cantor propuso recorrer esa tabla en un patrón en zigzag, enumerando cada fracción, demostrando así que los números racionales, aunque parecen ser muchos más, tienen el mismo tamaño infinito que los números naturales. Este fue su primer gran descubrimiento: el infinito numerable.
INFINITOS DE DIFERENTES TAMAÑOS
Después de su éxito con los racionales, Cantor se preguntó: ¿qué pasa con los números reales, esos que incluyen todos los números con decimales? A diferencia de los racionales, los reales llenan todos los espacios en la recta numérica, lo que significa que entre cualquier dos números, siempre hay un número real.
Cantor intentó hacer lo mismo que con los racionales, enumerando los números reales entre 0 y 1. Pero aquí se encontró con un problema. Utilizando lo que hoy llamamos el argumento diagonal, Cantor demostró que, no importa cómo tratemos de enumerarlos, siempre habrá un número real que no esté en la lista. Es decir, el infinito de los números reales es más grande que el infinito de los números naturales. Este descubrimiento fue revolucionario: existen infinitos de diferentes tamaños. El infinito de los números naturales, aunque es infinito, es más pequeño que el infinito de los números reales.
UNA INFINITUD DE INFINITOS
Pero el trabajo de Cantor no se detuvo ahí. Con su teoría, abrió la puerta a la existencia de una secuencia interminable de infinitos, cada uno más grande que el anterior. Este concepto de diferentes tamaños de infinito ha cambiado la comprensión moderna de las matemáticas y ha introducido nuevas preguntas y desafíos, muchos de ellos aún en pleno proceso de investigación. Cantor demostró que el infinito no es monolítico; más bien, existen infinitos de diferentes magnitudes, conocidos como cardinalidades. Esta idea desafió las nociones tradicionales y abrió un nuevo campo de estudio en matemáticas: la teoría de conjuntos, que no solo trata sobre el tamaño y la estructura de los conjuntos infinitos, sino también sobre las implicaciones profundas que estos tienen en otros ámbitos matemáticos y filosóficos.
Aunque sus ideas fueron controvertidas en su tiempo, hoy son una parte fundamental de las matemáticas modernas. Cantor nos mostró que el infinito no es una simple idea abstracta, sino un concepto rico y lleno de matices, donde hay mucho más por descubrir. Su trabajo no solo estableció nuevas bases para el entendimiento matemático, sino que también inspiró una reevaluación de conceptos filosóficos que habían sido considerados desde la antigüedad. La noción de que el infinito tiene una estructura interna, con diferentes “niveles” de infinitud, ha llevado a reflexionar sobre la naturaleza del espacio, el tiempo y el universo mismo.
De esta manera, Cantor nos dejó un legado que continúa inspirando a matemáticos, filósofos y cualquiera que se atreva a explorar los límites del conocimiento, recordándonos que en lo inabarcable e infinito siempre hay algo nuevo por comprender y descubrir.
Fuente: National Geographic